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MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026

MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026 MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem Instruções para realização e entrega da atividade: Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA (template). Esta é uma atividade individual, visto que trabalhos copiados da internet ou de outros(as) alunos(as) serão zerados. O trabalho pode ter quantas páginas você precisar para respondê-lo, desde que siga a sua estrutura. Preferencialmente, utilizar a formatação: fonte Arial 12, espaçamento entre linhas 1,5 linha e texto justificado. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa, apresente as referências no final do trabalho em ordem alfabética e conforme as normas da ABNT NBR 6023:2018. Você pode utilizar este site para orientação: https://usp.br/sddarquivos/aulasmetodologia/abnt6023.pdf Após inteiramente respondido, coloque um nome simples no seu arquivo para não haver confusão no momento do envio. Se o nome tiver caracteres estranhos, principalmente pontos, ou for muito grande, é possível que a equipe de correção não consiga abrir o seu trabalho e ele seja zerado; Você irá entregar apenas UM ARQUIVO com suas respostas. O trabalho deve ser enviado para correção pelo seu Studeo em formato de arquivo doc/docx ou PDF, na forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA. Caso você utilize OPEN OFFICE ou MAC, transforme o arquivo em PDF para evitar incompatibilidade. Ao final do enunciado desta atividade, aqui, no Studeo, há uma caixa de envio de arquivo. Basta clicar e selecionar sua atividade ou arrastar o arquivo até ela. Antes de clicar em FINALIZAR, certifique-se de que está tudo certo, pois, uma vez finalizado, você não poderá mais modificar o arquivo. Sugerimos que você faça o download para conferir se está de acordo com o arquivo entregue. Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador. Desejamos a você um excelente trabalho. BONS ESTUDOS! Bem-vindo à Atividade MAPA da disciplina de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II. Esta atividade é importante para ampliar o seu conhecimento crítico e analítico frente ao conteúdo proposto, satisfazendo o seu ciclo de aprendizagem. Dessa forma, leia atentamente o contexto da atividade em STUDEO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ATIVIDADE MAPA e, depois, responda neste formulário o que é solicitado. CONTEXTUALIZAÇÃO Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos. Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar: - O volume máximo de armazenamento do tanque. - A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade. Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas. Fonte: a autora, 2026. ETAPA 1. Volume do tanque O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente. O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação: A base circular do tanque, vista no plano horizontal xy, possui raio interno de 2 m. Assim, os pontos da base satisfazem a condição: Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece: Esse valor corresponde ao nível máximo de operação do tanque. Para maior entendimento, observe a Figura 1. Figura 1 - Representação do tanque de armazenamento de efluentes. Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026. ​Tarefas a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver. b) Calcule o volume máximo do tanque. ETAPA 2. Massa total do efluente Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão: onde: - é a densidade em kg/m³ - z é a cota vertical em metros. Tarefas a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver. b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.