On the Geometry of Linked Projective Spaces - Felipe de León Saenz Angel - Tese 2026

Aluno: Felipe de León Saenz Angel Orientador: Eduardo Esteves Data: 23/02/2026 (2ª feira) Hora: 10:00 Sala: Auditório 2 - Ricardo Mañé Banca de defesa: Eduardo Esteves - Orientador - IMPA Carolina Araujo - IMPA Olivier Martin - IMPA Marco Pacini (UFF) Omid Amini (Paris-Saclay) Jethro William - IMPA (suplente) Dados da tese em inglês: Title: On the Geometry of Linked Projective Spaces. Abstract: Linked projective spaces are quiver Grassmannians of constant dimension vector equal to one for a certain class of quiver representations arising from degenerations of linear series. The goal of this thesis is to study the geometry of linked projective spaces. More precisely, we address the problem of computing their Chow class and of characterizing the type of their singularities. The first main result is the computation of the Chow class of linked projective spaces. We show that it coincides with the Chow class of the small diagonal in a certain product of equidimensional projective spaces. The second main result shows that linked projective spaces are normal crossings schemes. This thesis is divided into five chapters. The first chapter is the introduction. We explain in detail the motivation for the problems addressed and some further developments that we decided not to include. The second chapter is devoted to developing a combinatorial framework based on polymatroidal tilings. The third chapter deals with linked nets, the class of quiver representations that we are interested in. In chapter four, we explain how to associate to a linked net a family of polymatroids. We study their base polytopes: we characterize their faces in terms of combinatorial data coming from the linked net, and we then show that they form a regular polyhedral tiling of a certain subset of an affine space. Finally, the fifth chapter deals with linked projective spaces: we use the theory developed in the previous chapters to compute their Chow class. We show that linked projective spaces are strictly normal crossings. Dados da tese em português: Título: Sobre a geometria dos espaços projetivos ligados. Resumo: Os espaços projetivos ligados são Grassmannianos de representações de aljavas, com vetor de dimensão constante igual a um, associados a uma certa classe de representações de aljavas que surgem no estudo de degenerações de séries lineares. O objetivo desta tese é estudar a geometria dos espaços projetivos ligados. Mais precisamente, abordamos o problema de calcular suas classes de Chow e de caracterizar o tipo de suas singularidades. O primeiro resultado principal é o cálculo da classe de Chow dos espaços projetivos ligados. Mostramos que ela coincide com a classe de Chow da diagonal pequena em um certo produto de espaços projetivos equidimensionais. O segundo resultado principal mostra que os espaços projetivos ligados são esquemas com cruzamentos normais. Esta tese é dividida em cinco capítulos. O primeiro capítulo é a introdução. Explicamos em detalhe a motivação dos problemas abordados e alguns desenvolvimentos posteriores que decidimos não incluir. O segundo capítulo é dedicado ao desenvolvimento de um conjunto de ferramentas combinatórias baseado em tesselações polimatroidais. O terceiro capítulo trata de redes ligadas, a classe de representações de aljavas que nos interessa. No quarto capítulo, explicamos como associar, a uma rede ligada, uma família de polimatroides. Estudamos seus politopos base: caracterizamos suas faces em termos de dados combinatórios provenientes da rede ligada e mostramos, em seguida, que eles formam uma tesselação poliédrica regular de um certo subconjunto de um espaço afim. Por fim, o quinto capítulo trata dos espaços projetivos ligados: utilizamos a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores para calcular suas classes de Chow. Mostramos que os espaços projetivos ligados são esquemas com cruzamentos normais estritos. Redes Sociais do IMPA: https://linktr.ee/impabr IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada © https://www.impa.br | https://impa.br/videos