Metastable Behavior of One-Dimensional Diffusions with... - Christian Jaime Maura Llauri - Tese 2025

Aluno: Christian Jaime Maura Llauri Orientador: Claudio Landim Data: 02/12/2025 (3ª feira) Hora: 13:00 Sala: 232 Banca de defesa: Claudio Landim - Orientador - IMPA Augusto Teixeira - IMPA Milton Jara - IMPA Ivailo Hartarsky - CNRS Giulio Iacobelli - UFRJ Hubert Lacoin - Suplente - IMPA Dados da tese em inglês: Title: Metastable Behavior of One-Dimensional Diffusions with Periodic Boundary Conditions: Dynamics, Gamma-Expansion, and an Application to the Asymptotic Analysis of Parabolic Differential Equations Abstract: This thesis studies the metastable behavior of one-dimensional diffusions with periodic boundary conditions. We characterize this behavior through a finite and exhaustive family of time-scales and finite-state Markov chains that together capture all non-trivial asymptotic regimes. We prove that a precisely defined coarse-grained version of the diffusion, accelerated at a metastable time-scale belonging to this family, converges in distribution to the corresponding finite-state Markov chain. Moreover, we establish that the large-deviation behavior of the system is also encoded by these Markov chains: the level-two large deviation rate functional of a diffusion accelerated at a metastable time-scale converges, in the sense of Gamma-convergence, to the rate functional of the corresponging finite state Markov chain. The family thus provides a complete description of the metastable behavior, in the sense that the asymptotics are trivial at any other time-scale. The results apply to both reversible and non-reversible diffusions. An application to the asymptotic behavior of solutions of parabolic partial differential equations defined by the elliptic generator of the diffusions is also presented. Dados da tese em português: Título: Comportamento metastável de difusões unidimensionais com condições de fronteira periódicas: Dinâmica, Expansão-Gamma e uma aplicação à análise assintótica de equações diferenciais parabólicas. Resumo: Esta tese investiga o comportamento metastável de difusões unidimensionais com condições de contorno periódicas. Esse comportamento é caracterizado por meio de uma família finita e exaustiva de escalas de tempo e de cadeias de Markov com espaço de estados finito, que em conjunto capturam todos os regimes assintóticos não triviais. Demonstramos que uma versão coarse-grained precisamente definida da difusão, acelerada em uma escala de tempo metastável pertencente a essa família, converge em distribuição para a cadeia de Markov de espaço de estados finito correspondente. Além disso, estabelecemos que o comportamento de grandes desvios do sistema também é codificado por essas cadeias de Markov. Especificamente, o funcional de taxa de grandes desvios de nível dois associado a uma difusão acelerada em uma escala de tempo metastável converge, no sentido da Gamma-convergência, para o funcional de taxa da cadeia de Markov de espaço de estados finito correspondente. Essa família, portanto, fornece uma descrição completa do comportamento metastável, no sentido de que os assintóticos são triviais em qualquer outra escala de tempo. Os resultados obtidos aplicam-se tanto a difusões reversíveis quanto não reversíveis. Também é apresentada uma aplicação ao comportamento assintótico das soluções de equações diferenciais parabólicas definidas pelo gerador elíptico das difusões. Redes Sociais do IMPA: https://linktr.ee/impabr IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada © https://www.impa.br | https://impa.br/videos Os direitos sobre todo o material deste canal pertencem ao Instituto de Matemática Pura e Aplicada, sendo vedada a utilização total ou parcial do conteúdo sem autorização prévia e por escrito do referido titular, salvo nas hipóteses previstas na legislação vigente. The rights over all the material in this channel belong to the Instituto de Matemática Pura e Aplicada, and it is forbidden to use all or part of it without prior written authorization from the above mentioned holder, except in the cases prescribed in the current legislation.