Partielle Ableitung - Teil 7

Bei der partiellen Ableitung werden Funktionen betrachtet, die eine Teilmenge des R^n nach R abbilden. Dabei wird eine solche Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nach nur einer dieser Variablen abgeleitet. Dazu werden die restlichen Variablen als Konstanten angesehen und die Funktion dadurch als Funktion einer Variablen betrachtet. Hier geht’s zum Video auf unserer Seite: https://studyflix.de/mathematik/partielle-ableitungen-1341 Mehr Videos rund ums Thema Ableiten findest du hier: https://studyflix.de/mathematik-schueler/thema/analysis-schueler-424 SPRUNGMARKEN Definition: Partielle Ableitung und partielle Differenzierbarkeit Sei U ⊂ R^n offen und f: U → R eine reelwertige Funktion. Sei weiterhin x₀ = (x₀₁, ..., x₀ᵢ, ..., x₀ₙ) ∈ U ein Punkt aus U, dann heißt f in x₀ partiell differenzierbar nach der i-ten Variable xᵢ, falls der Grenzwert ∂f/∂xᵢ (x₀₁, ..., x₀ᵢ, ..., x₀ₙ):= lim(h → 0)[f(x₀₁, ..., x₀ᵢ + h, ..., x₀ₙ) − f(x₀₁, ..., x₀ᵢ, ..., x₀ₙ)] / h existiert. Diesen Grenzwert nennt man die i-te partielle Ableitung von f in x₀. Schreibweisen der partiellen Ableitungen In der gerade erfolgten Definition wurde eine Schreibweise der partiellen Ableitung benutzt, welche vom Symbol ∂ Gebrauch macht. Dieses wird als „d“ oder auch als „del“ gesprochen. Äquivalente Schreibweisen bzw. Symbole der i-ten partiellen Ableitung in x₀ lauten: ∂ₓᵢf(x₀₁, ..., x₀ᵢ, ..., x₀ₙ) fₓᵢ(x₀₁, ..., x₀ᵢ, ..., x₀ₙ) Dᵢf(x₀₁, ..., x₀ᵢ, ..., x₀ₙ) Partiell ableiten Eine Funktion f nach der i-ten Variable xi partiell abzuleiten, funktioniert, wie eingangs erwähnt, recht simpel. Man sieht alle anderen Variablen als Konstanten an. Dadurch kann die Funktion als Funktion der Variablen xi angesehen werden. Die partielle Ableitung entspricht der gewöhnlichen Ableitung dieser Funktion. Deutung der partiellen Ableitungen Die Bedeutung der partiellen Ableitungen einer Funktion f(x, y), die von den zwei Variablen x und y abhängt, lässt sich geometrisch interpretieren. Der Graph dieser Funktion kann als Hügelfläche im dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Die partielle Ableitung nach x an der Stelle (x₀, y₀) gibt dann die Steigung des Graphen an dieser Stelle an, wenn man sich von dort aus in positive x-Richtung bewegt. Man kann sich das auch folgendermaßen vorstellen: Wird der Funktionsgraph von f mit einer Ebene geschnitten, die den Punkt (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) enthält und parallel zur x-f(x, y)-Ebene liegt, so ergibt sich eine Schnittkurve. Die partielle Ableitung nach x an der Stelle (x₀, y₀) ist dann gerade die Steigung der Tangente an dieser Schnittkurve. Für Funktionen, die von mehr als zwei Variablen abhängen, hält die geometrische Interpretation allerdings nicht mehr stand. Man kann hier die partielle Ableitung nach der i-ten Variable als die Änderungsrate des Funktionswertes an der Stelle (x₀, y₀) interpretieren, wenn man eine kleine Veränderung der i-ten Variable betrachtet. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Du hast noch nicht genug von Studyflix? Hier findest du uns auf Instagram und TikTok: https://www.instagram.com/studyflix_app/ https://www.tiktok.com/@studyflix oder auf unserer Webseite: https://studyflix.de/ Hier geht´s zur kostenlosen Studyflix-App: - Play Store: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.studyflix.studyflix&hl=de&gl=US - Apple Store: https://apps.apple.com/de/app/studyflix-deine-lernapp/id1514546785 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Über uns: Studyflix ist eine junge, schnell wachsende E-Learning Plattform, die kostenlose Lernvideos für Dich zur Verfügung stellt. Wir produzieren Videos für Schüler, Studenten und Azubis, um so die Lehrinhalte einfach und verständlich zu erklären. Täglich kommt ein neues Video dazu. Von Wirtschaft, Mathematik, Physik, Chemie über Technik bis zu allgemeinen Themen – alles ist dabei. Wir sind überzeugt, dass Lernen nicht langweilig oder gar teuer sein muss! Deshalb bieten wir hochwertige, animierte Lernvideos, mit denen Lernen Spaß macht – und das komplett kostenlos.