INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION | Integrationsformel + mehrere Beispiele | Studyflix

Bei der Integration durch Substitution muss man einige Punkte beachten. In diesem Zusammenhang erklären wir zunächst die Integrationsformel und beweisen deren Gültigkeit. Anschließend zeigen wir anhand einiger Beispiele, wie du damit Integrationsaufgaben in der Praxis lösen kannst. Hier geht's zum Video auf unserer Seite: https://studyflix.de/mathematik/integration-durch-substitution-1783 Mehr Videos rund ums Thema Funktionen findest du hier: https://studyflix.de/mathematik-schueler/thema/funktionen-213 Transparenzhinweis: Dieses Video enthält Hinweise in eigener Sache auf Studyflix.de und die Studyflix App – kostenlose Angebote der Studyflix GmbH. 00:11 Integration durch Substitution Integration durch Substitution einfach erklärt Das Ziel der Substitution ist es, ein kompliziertes Integral in ein einfacheres zu überführen. Bei der Integration durch Substitution wird in der Praxis meist die Integrationsvariable x durch eine Funktion φ(t) ersetzt, also substituiert, sodass sich der Integrand vereinfacht. Substitutionsregel Dabei gilt die folgende Gleichung für eine stetige Funktion f und eine stetig differenzierbare Funktion φ: ∫ₐᵇ f(φ(t)) · φ'(t) dt = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx Die Gültigkeit dieser Regel lässt sich mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beweisen. Sei F eine Stammfunktion von f, dann gilt mit der Kettenregel: (F(φ(t)))' = f(φ(t)) · φ'(t) und damit weiter: ∫ₐᵇ f(φ(t)) · φ'(t) dt = F(φ(b)) − F(φ(a)) = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx Substitution und Differentiale In der praktischen Anwendung ersetzt man meist die Variable x durch die Funktion φ(t): x = φ(t) Leitet man diesen Ausdruck nach t ab und stellt anschließend um, erhält man: dx/dt = φ'(t) dx = φ'(t) · dt Setzt man x und dx in das Integral ein, wird die Substitutionsregel anschaulich nachvollziehbar. Daraus ergibt sich eine zentrale Vorgehensweise der Substitution: Die Funktion φ(t) wird so gewählt, dass sich der Integrand vereinfacht. Das gelingt meist bei verschachtelten Funktionen im Integranden. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Du hast noch nicht genug von Studyflix? Hier findest du uns auf Instagram und TikTok: https://www.instagram.com/studyflix_app/ https://www.tiktok.com/@studyflix oder auf unserer Webseite: https://studyflix.de/ Hier geht´s zur kostenlosen Studyflix-App: - Play Store: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.studyflix.studyflix&hl=de&gl=US - Apple Store: https://apps.apple.com/de/app/studyflix-deine-lernapp/id1514546785 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Über uns: Studyflix ist eine junge, schnell wachsende E-Learning Plattform, die kostenlose Lernvideos für Dich zur Verfügung stellt. Wir produzieren Videos für Schüler, Studenten und Azubis, um so die Lehrinhalte einfach und verständlich zu erklären. Täglich kommt ein neues Video dazu. Von Wirtschaft, Mathematik, Physik, Chemie über Technik bis zu allgemeinen Themen – alles ist dabei. Wir sind überzeugt, dass Lernen nicht langweilig oder gar teuer sein muss! Deshalb bieten wir hochwertige, animierte Lernvideos, mit denen Lernen Spaß macht – und das komplett kostenlos.