Ableitungsregeln einfach erklärt - Teil 2

Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Ableitungsregeln. Wie du sie richtig anwendest, zeigen wir dir hier im Beitrag und im Video mit Beispielen! Hier geht’s zum Video auf unserer Seite: https://studyflix.de/mathematik/ableitungsregeln-einfach-erklaert-3947 Mehr Videos rund ums Thema Ableiten findest du hier: https://studyflix.de/mathematik-schueler/thema/analysis-schueler-424 00:13 Konstantenregel 00:46 Ableitung von x 00:59 Potenzregel 01:15 Faktorregel 01:39 Summenregel 02:13 Produktregel 02:45 Quotientenregel 03:36 Kettenregel Ableitungsregeln — Konstantenregel Wenn du eine Funktion hast, die nur aus einer Zahl besteht, ist die Ableitung immer Null. Konstantenregel: y = C → y‘ = 0 Zum Beispiel: y = 3 y‘ = 0 Potenzregel Steht in einer Funktion eine Potenz, kannst du sie mit der Potenzregel ableiten. Die Zahl vom Exponenten ziehst du dabei nach vorne und verringerst den Exponenten selbst um 1. Potenzregel: y = x^n → y‘ = n • x^n-1 Sehen wir uns dazu ein Beispiel an: y = x^5 y = 5 • x^5-1 y = 5 • x^4 Faktorregel Die Faktorregel besagt, dass beim Ableiten einer Funktion, die mit einer Zahl multipliziert wird, diese einfach erhalten bleibt. Sie wird nur mit der abgeleiteten Funktion verrechnet. Faktorregel: y = a • f(x) → y‘ = a • f'(x) Schau dir dazu dieses Beispiel an: y = 5 • x^2 y‘ = 5 • 2 • x y‘ = 10 • x Wichtig: Besteht die Funktion nach der Zahl nur aus einem x, fällt bei der Ableitung nur das x weg. Zum Beispiel: y = 6x → y‘ = 6. Summenregel Sind zwei oder mehr Funktionen als Summe miteinander verbunden, kannst du die gesamte Funktion mit der Summenregel ableiten. Dazu leitest du einfach die einzelnen Funktionen zwischen den Plus-Zeichen ab und fügst sie dann zusammen. Summenregel: y = u + v → y‘ = u‘ + v‘ Das siehst du an diesem Beispiel: y = -5x^2 + 4x^6 y‘ = -5 • 2 • x^2-1 + 4 • 6 • x^6-1 y‘ = -10x + 24x^5 Differenzregel Die Differenzregel funktioniert wie die Summenregel: Du brauchst nur die einzelnen Teile abzuleiten: Differenzregel: y = u – v → y‘ = u‘ – v‘ Zum Beispiel: y = 5x – x^3 y‘ = 5 – 3x^2 Ableitungsregeln — Produktregel Wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel. Dazu musst du die beiden Funktionen ableiten und folgende Formel anwenden: Produktregel: y = u • v → y‘ = u‘ • v + u • v‘ Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: y = (x^2 + x) • 2x u = x^2 + x u‘ = 2x + 1 v = 2x v‘ = 2 y‘ = (2x + 1) • 2x + (x^2 + x) • 2 Ableitungsregeln — Quotientenregel Mithilfe der Quotientenregel kannst du Funktionen ableiten, die Brüche enthalten. Dazu bestimmst du jeweils die Ableitung der Funktionen im Zähler und im Nenner und setzt sie in die Formel ein: Quotientenregel: y = u/v → y‘ = (u‘•v-u•v‘)/v^2 Zum Beispiel: y = 5x/x^3+x u = 5x u‘ = 5 v = x3 + x v‘ = 3x2 + 1 y' = (5(x^3+x)-5x(3x^2+1))/(x^3+x)^2 Ableitungsregeln — Kettenregel Die Kettenregel benutzt du, um zusammengesetzte Funktionen abzuleiten. Dabei gibt es immer eine äußere und eine innere Funktion. Beide leitest du ab und nutzt die Formel der Kettenregel, um die gesamte Funktion abzuleiten: Kettenregel: y = u(v(x)) → y‘ = u'(v(x)) • v'(x) Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist: y = (7x2 + 3)^3 u = x^3 u‘ = 3x^2 v = 7x^2 + 3 v‘ = 14x y‘ = 3 • (7x^2 + 3)^2 • 14x -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Du hast noch nicht genug von Studyflix? Hier findest du uns auf Instagram und TikTok: https://www.instagram.com/studyflix_app/ https://www.tiktok.com/@studyflix oder auf unserer Webseite: https://studyflix.de/ Hier geht´s zur kostenlosen Studyflix-App: - Play Store: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.studyflix.studyflix&hl=de&gl=US - Apple Store: https://apps.apple.com/de/app/studyflix-deine-lernapp/id1514546785 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Über uns: Studyflix ist eine junge, schnell wachsende E-Learning Plattform, die kostenlose Lernvideos für Dich zur Verfügung stellt. Wir produzieren Videos für Schüler, Studenten und Azubis, um so die Lehrinhalte einfach und verständlich zu erklären. Täglich kommt ein neues Video dazu. Von Wirtschaft, Mathematik, Physik, Chemie über Technik bis zu allgemeinen Themen – alles ist dabei. Wir sind überzeugt, dass Lernen nicht langweilig oder gar teuer sein muss! Deshalb bieten wir hochwertige, animierte Lernvideos, mit denen Lernen Spaß macht – und das komplett kostenlos.